圆 · 正方形中的重叠扇形

题目

Ali 在一张正方形卡片 ABCD 上设计图案，正方形边长 14 cm。他分别以 A 点和 C 点为圆心，在正方形内画两个四分之一圆，这两个四分之一圆都经过 B 点和 D 点。两个四分之一圆重叠的部分被涂上阴影。取 π = 3.14，求阴影部分的面积和周长。

举一反三：3 道同类题

1. 一个边长为 10 cm 的正方形内，以一对对角顶点为圆心画两个四分之一圆，两个四分之一圆都经过另外两个顶点。重叠部分涂阴影。取 π = 3.14，求阴影部分的面积和周长。
   答案

   57 cm², 31.4 cm — 一个四分之一圆面积 = 1/4 × 3.14 × 10 × 10 = 78.5 cm²。 两个四分之一圆面积 = 2 × 78.5 = 157 cm²。 正方形面积 = 10 × 10 = 100 cm²，所以阴影面积 = 157 − 100 = 57 cm²。 阴影周长 = 2 条四分之一圆弧 = 10π = 31.4 cm。

2. Siti 在一块边长 20 cm 的正方形布上缝图案。她以两个相对的角为圆心，画了两个四分之一圆，两个四分之一圆都经过另外两个角。重叠部分是图案。取 π = 3.14，求图案的面积和周长。
   答案

   228 cm², 62.8 cm — 一个四分之一圆面积 = 1/4 × 3.14 × 20 × 20 = 314 cm²。 两个四分之一圆面积 = 2 × 314 = 628 cm²。 正方形面积 = 20 × 20 = 400 cm²。图案面积 = 628 − 400 = 228 cm²。 图案周长 = 2 条四分之一圆弧 = 20π = 62.8 cm。

3. Raju 有一张边长 28 cm 的正方形贴纸。他以四个角为圆心，各画一个半径 14 cm 的四分之一圆，圆弧连接相邻边的中点。没有被这四个四分之一圆覆盖的中间部分被涂上阴影。取 π = 3.14，求阴影部分的面积和周长。
   答案

   168.56 cm², 87.92 cm — 正方形面积 = 28 × 28 = 784 cm²。 四个四分之一圆合成一个半径 14 cm 的圆，面积 = 3.14 × 14 × 14 = 615.44 cm²。 阴影面积 = 784 − 615.44 = 168.56 cm²。 阴影周长由 4 条四分之一圆弧组成，也就是一个完整圆的周长：2 × 3.14 × 14 = 87.92 cm。

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